序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇高中數學知識構架范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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目前，我國高中數學教學中的各種知識和概念分布相對分散，然而在開展高中數學教學時，應當注重數學知識的整體性和各個數學概念的內在聯系．相關數學概念的內在聯系教師可以通過類比推理法來進行整理和設計后向學生展示，不斷優化學生的概念網絡和知識結構．教師在進行高中數學新概念或新知識的講解時，可以將新知識或新概念與之前學習的相近或相似的概念進行類比，推導出新概念的含義，同時也可以通過與相似舊概念的類比，讓新概念成為舊概念某些方面的延伸和拓展，不斷拓展和延伸學生的數學知識構架．相比于單獨講解數學知識或數學概念，類比推理在高中數學新概念學習中的應用能夠加深學生對新概念或新知識的掌握和記憶，通過復習舊知識或舊概念，對舊概念和舊知識的定義、推理、運用進行系統的回憶，然后在此基礎上引導學生去探索新概念和新知識，這樣能夠降低學生對新知識或新概念的記憶難度，避免與舊知識或舊概念出現混淆．筆者在講解高中二面角相關數學知識時，通過“角”的概念來進行二面角概念的類比推理，從而幫助學生理解和掌握二面角概念．從一點所發出的兩條射線組成的圖形是角，同理，從一條直線發出兩個半平面所組成的圖形是二面角;其中角是由射線———點———射線構成，同理，二面角是由半平面———直線———半平面構成．角和二面角的定義、構成以及結構圖形之間非常類似，教師可以將角和二面角的概念進行類比推理，引導學生聯想角和二面角之間的關聯，幫助學生更好地理解二面角的概念．

二、類比推理在高中數學知識整合中的應用

在高中數學教學中對概念或知識進行整合時，類比推理能夠有效對相關概念和知識進行歸納和分類．如筆者在講解向量相關數學知識時，為了幫助學生對共線向量、平面向量以及空間向量相關知識的理解和掌握，尤其是這三個向量定理關系的區分，避免學生在學習這三種向量時產生混亂，采用了類比推理法．在進行類比推理時，讓學生先理解和掌握共線向量的定理和共線向量的相關運算，再將共線向量的相關知識推廣到平面向量中，在學生理解和掌握相關平面向量的定量以及計算后，進一步推廣到空間向量上．類比推理在高中數學知識整合中的應用，能夠讓學生更好地體會數學學習的整體性和和諧性，領悟到數學的思想模式，不斷培養學生的數學思維，不斷提高高中數學課堂教學效果．又如筆者在整合等比數列和等差數列的相關知識時，由于等差數列和等比數列在某些方面有著相似的性質，在進行等差數列和等比數列相關知識的整合時，可以采用類比推理法進行教學，引導學生運用此種方法進行推理、計算，加強這種方法的運用，從而使得學生的數列相關知識結構更加完整和有條理，提高高中數學課堂教學效率．

三、類比推理在高中數學提出和解決問題中的應用

人們的學習和相關思維過程都源自于對問題的提問，通過對問題的提問，從而激發人們進行思考和求知，最終解決問題，并獲得知識．學生提出問題的價值能夠有效衡量學生思維能力．類比推理在高中數學提出和解決問題中的應用能夠有效幫助學生發現問題，提出問題和進行問題的猜想以及探索，進而有效解決問題．同時，類比推理在高中數學提出和解決問題中的應用，能夠有效鍛煉學生思維能力，提高學生的數學學習興趣，促進學生從“學會新知識”朝著“會學新知識”方面不斷發展，不斷提高學生的創新能力和研究能力．例如，在課堂上，教師可以通過對正三角形內任意一點到三角形三條邊的距離之和是一個定值進行類比推理，使得學生能得出正四面體內任意一點到四面體各面的距離之和是一個定值．

四、結束語

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一、提出的問題要有目的性

課堂提問是為教學目標服務的，必須圍繞著教學內容而展開，因此，在高中數學課堂上有效的提問要有的放矢，不能為提問而提問。“提出一個問題往往比解決一個問題更加重要。”數學學科是以問題為中心的，教師在課堂上提問時要有針對性，或為培養學生的記憶能力，或為培養學生的感知能力，或為培養學生的思維能力，或為培養學生的分析概括能力等，這樣我們的提問便是有效的。備課時，教師要深入研究高中數學教材，提取其精華，設計目的性明確的問題，讓學生通過教師的提問能感知教學的重點，在回答問題的過程中能找出解決問題的方法。如在學習“集合的概念”時，我在引導學生閱讀教材時提出以下問題：集合、元素的概念是如何定義的？集合與元素之間的關系為何，是用什么符號表示？集合中元素有哪些特征？集合的分類有哪些？常用數集如何表示？通過這些問題，學生明確了閱讀時的重點，并了解了梳理知識的方法，閱讀后能形成本節課的基本知識結構。有目的的提問不僅在新知識的講授中具有舉足輕重的作用，在復習課和習題課中也是不可或缺的，它們往往可以幫助學生形成知識構架，找出解決問題的核心。因此，有效的提問是有目的性的，需要我們教師深研數學教材與有關資料，提取數學知識之本質，讓學生通過回答問題獲取知識和能力。

二、提出的問題要有引導性

新課程改革規定，學生是學習的主體，教師在課堂上主要起引導作用，用于啟發學生的思維和技能，因此，作為課堂主線的有效提問也要具有引導性和啟發性。教師在高中數學課堂上提出的問題，使學生對所學的數學知識產生了疑問，進而開始思考，期望找出問題的解決途徑，達到釋疑的目的，此時引導性的問題便是學生“跳一跳便能摘到桃子”的工具。學生的思維是發散的、不可控的，而教學內容是一定的，教師所提出的問題便需要能引導學生運用所學的知識，成為學生獲取知識的橋梁，引導學生找出問題的解決方法。引導性的提問還可以啟發學生自己發現數學知識，親身體驗數學知識的形成過程，加深對數學知識理解，深化對數學知識的運用，讓數學知識富有挑戰性，培養學生的探索精神，感受成功的喜悅。當然，提出的問題還要具有一定的難度，既要源于教材又要高于教材，既要有一定的知識水準，又要符合學生的認知水平，以幫助學生完成對數學知識的升華。

三、提出的問題要有趣味性

興趣是學生學習數學知識的動力，死板的教學時代已成過去，學生需要趣味性的事物激發他們的智力，帶給他們新鮮的體驗，讓他們感受到學習是一件快樂的事情。高中數學是一門嚴謹的科學，但這并不表示它也是一門嚴肅的科學，輕松愉悅的教學環境依然適合高中數學的教學過程。因此，教師在數學課堂上提出的問題也要具有一定的趣味性，讓嚴謹的數學課堂變得輕松愉快。我國的語言博大精深、奧妙無窮，教師要善于運用語言調動學習氛圍，改變高中數學課堂的枯燥和單調，有時一個幽默的提問便能成就一個數學問題的解決。如在講解坐標中的零點時，大部分學生都無法理解零點為什么不是一個點，我便對學生提出一個問題：“田雞就一定是雞嗎？”這個常識性知識學生自然是知道的，接著我便問：“那么，零點為什么非要是一個點呢？”此時學生感覺眼前一亮，知道自己鉆進了“牛角尖”，雖然對于“零點為什么不是一個點”還不甚明了，但對于“零點不是一個點”卻記憶深刻。

四、提出的問題要有開放性

隨著新《課程標準》的實施，近幾年的高考也發生了重大的改變，其中最顯著的變化之一是開放性的試題越來越多，對學生的思維能力提出了挑戰。傳統的數學教學形式教育出的學生死守唯一的答案，不知變通、不敢向權威挑戰，嚴重阻礙了他們發散性思維的發展。而科技迅速發展的現代化社會，不再需要墨守成規的人才，而更需要創新型的人才，需要學生在進入社會以后能切實為社會的發展做出貢獻，因此，為滿足社會的發展、響應新課程改革的精神，學校教育要培養創新型人才，學生在學校里不僅要獲取理論知識，更要獲得能力。這便要求我們教師在高中數學教學中提出的問題要具有開放性，以培養學生的發散性思維，形成創新意識。問題的開放性包括兩個內容：答案的開放性，教師提出的問題不能只有一個答案，要留給自由發揮的空間，即沒有所謂的標準答案，只要是說出問題核心的便是正確的；問題對象的開放性，提出的問題要面向全體學生，讓每位學生都能經過思考找出解決方案，不存在為某個學生或某一些學生特設的問題。在提問的過程中，教師還要鼓勵學生提出自己的問題，可以向教師提問，也可以對其他學生的答案進行反駁，讓他們的思維經過碰撞產生智慧的火花。

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關鍵詞：高中數學；新課改；嘗試；反思

高中數學是一門很關鍵的課程，在新課改的不斷深化下，數學教學方式也有了不同的發展。下面就談談對于數學改革的嘗試和反思。

一、課改就是要讓學生成為課堂的主人，對于數學尤其如此

在課改之前，數學課堂上，大多數都是老師在上面講，學生在下面聽，老師與學生的關系就是教與學的關系，課堂氣氛不夠活躍，學生學得比較死板，老師教的也比較死板，這樣的教學方式不利于學生身心健康的發展。課改以來，要求解放課堂，就是讓學生成為課堂的主人。課堂上，老師不再單純地傳授知識，老師要和學生一起學習，老師作為課堂的領導者，要指引學生自己去解決不會的問題，鍛煉學生的自主解決問題的能力。數學教學在很多方面要學生自己積極地思考，在數字中找到快樂。很多數學問題的解決都需要學生具備自主解決問題的能力，這就對數學課堂提出了很高的要求。

二、要根據新課改的要求，采取不同教學方式

在以往的教學工作中，很多學校采用同一種教學方式，大家講課都是采用同一種方式。隨著課改的不斷深化，這種方式已經不適應當下的學生。與以前的學生相比，現在的學生更加活潑好動，思考問題的方式也別具一格。這就要求老師在授課的時候要采取一種適應學生的教課方式，要讓學生從心理上感覺到老師相信他能學好。對數學這門課程而言，很多學生比較害怕繁瑣的計算，也需要學生有很強的邏輯思維能力，老師在講課的過程中要采取不同方式進行教學。比如，在數學題中加入一些故事，例如“勾股定理”的出現以及延伸；老師還可以講授一些數學在社會發展中的運用，這些東西都可以引起學生濃厚的興趣。因此對老師而言，課堂上要有劑，要因材施教，這樣課堂才有激情，學生才會深深地喜愛上課堂，當學生喜歡上課堂之后，數學的學習也就不再那么的枯燥了。

三、數學的學習應該延伸到課外，讓學生在生活中學習數學

以往，學生學習數學都是一種固定的模式，老師講課，然后布置家庭作業讓學生去做，這樣學生就慢慢地機械化，慢慢地變成了一種學習的機器，這對學生的身心健康沒有好處。在新課改的要求下，我們應該打破這種模式。學生的學習不能僅僅局限于課內和書本，應該讓學生學會在生活中學習，但是這個過程需要老師去引導。學校可以定期舉辦一些數學知識大賽或者數學能力大賽等，這樣不但可以豐富學生的課外生活，還可以讓學生愛上數學。老師在講課的過程中，應該利用一些生活中的實例去引導學生去思考。比如，在學習“勾股定理”的時候，老師可以讓學生去討論為什么生活中的很多建筑構架都是三角形的。這樣可以很好地激發學生的學習興趣，當學生通過大量的調查和研究之后得出：因為三角形的穩定性，所以很多建筑和橋梁才是三角形構架。這樣就會對為什么三角形有穩定性產生足夠的好奇，然后老師就可以利用學生的好奇心進行講課了，隨后再延伸到三角函數的各個方面，讓學生既知其然，還知其所以然。

總之，新課改之后，學生在課堂上變得更為主動，學生慢慢地成為課堂的主人。老師根據不同的方式授課，顧全不同水平的學習，這對于學生的發展是有很大的好處的。不斷地深化高中數學的改革，不斷地開拓新的教學方式，為高中數學提供更大的助力。

參考文獻：

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實習作業是每一名學生必須經歷的學習過程，實習作業的訓練有利于高中學生對于社會的了解，增強學生的動手能力和對于所學知識的運用.對于知識的領悟和運用最佳的途徑就是去實踐，而實習作業的形式是實踐的途徑之一，也是學生邁入社會的第一步.實習作業也是對學生的一種社會考驗，看自己是否符合社會所需要的人才，是否可以通過社會的考驗.實習不僅僅是對知識的考驗，也打開了高中學生的視野，開發學生的大腦，是培養學生創新能力的一種方案.

一、高中數學學習作業的目標和要求

高中數學是對初中數學的一個銜接，也是大學相關數學專業的一個鋪墊.從新教改的實施開始，高中數學逐漸從應對應試教育的方案轉向運用和領悟能力方面，更加重視實踐操作，真正將理論知識運用在工作崗位上，學以致用.本篇論文就以解三角形這一單元為例來對實習作業進行分析.

1.實習目標

教師通過與學生共同探討有關三角形的知識原理，讓學生體會到探究知識的樂趣，使學生真正熱愛數學知識的探討過程和培育學生自主創新的能力；學生學會運用簡單的三角定律解決生活中的實際問題，培育學生鉆研數學的實事求是的嚴謹態度，學會用數學的思維去思考問題，體會到生活處處是學問的理念；學生在實習操作中更加深刻地體會數學知識，提升對于所學知識的運用；學生從中體會到數學研究的科學價值，提升自身的數學領悟和創新能力.

2.實習要求

教師將三角形定律的相關知識通過課件簡單介紹給學生，并且引導其運用解三角形的相關理論解決一些簡單的易懂的小問題，使學生懂得如何運用三角形知識去解決實際的問題，將解三角形的相關知識與實際生活聯系起來，啟發學生的思維，討論在日常生活中接觸的有關三角形事件，建立學生自己的知識構架，并且與其他學生共同交流、討論自己的解決方案，寫出一份實習報告，互相學習，互相進步.

高中實習作業的新教學原則是為學生建立一個自由的學習空間，為學生留下充足的思考、討論的空間，建立自己的思想庫，培育學生自主學習的能力，自動自發地去探索新的知識，新的領域，并且提升學生對社會的適應能力，將所學的理論知識學以致用.建立學生正確的數學意識，鼓勵學生進行頭腦大風暴，培養學生對于數學的興趣愛好.

二、實習方案

學生在完成實習作業之前一定對三角形定律有一定的了解，對其基礎的概念和基礎理論知識有一定的掌握，教師在確定學生具備這些三角形基礎知識的基礎上布置有關三角形的實習作業，并且根據學生的掌握情況進行科學合理的分組，形成小組式討論.

1.準備

學生在實習前，教師應該做好所需設備的準備，像是測角儀、經緯儀等設備，學校和教師如果有條件的話能夠提供這些設備更好，如果不行，教師可以想其他的方案，當然可以增加學生的實習任務，也是訓練學生動手能力的機會，交給學生自制測角儀或者經緯儀等設備的簡易方法，也可以采取學生的解決方案，也是教會學生在探索的過程中“不放棄，不拋棄”的精神.實習前也應該將討論小組分好，分組時并不是毫無規律分組，教師應該對每一名學生的學習情況和個性特點有一個全面的了解，根據他們的自身的情況，一個小組里包含基礎知識掌握好的、活潑的、聰明的、學習能力強的等，使他們組合成一個小團體，發揮他們各自的優勢，讓他們互相學習，互相幫助，在培養他們學習能力的同時也是培養他們團隊的精神.

2.實習指導

教師可以根據學生自身的學習能力和掌握的知識來估計學生可能在實習作業當中遇到的困難，教師可以適當地進行指導，以免打亂其探討的節奏和打擊學生的積極性.如果學生在討論過程中出現問題，教師也應該進行引導，而不是全盤告知，這樣很容易放大學生的惰性.教師應該利用一切的機會來培養學生的思考能力和創新能力，盡量減少自身的干預，因為在學生的意識里教師的想法一定是正確的，這就阻礙了學生自主思考的空間.

3.實習作業的注意事項

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一、把握基礎知識點與重點考查內容

在高三的基礎復習過程中，對于例題的設計和講解有著嚴格的要求和考量。數學的復習側重于數理基礎知識，因此在例題的設計方面必須考慮其難易程度是否得當，如果例題過難就會打擊學生們的學習積極性，這對高三學生來說是極為不利的，但是教師又不能簡單地把知識點羅列出來，因此，教師必須全面把握所要復習的知識點，抓住題目設計的主要信息和考查內容，使知識點能夠通過例題的形式串起來形成一個有規律的知識脈絡。比如，在復習可以裂項的數列通項這部分知識點時，就可以圍繞書本內容以及學生容易出現錯誤的地方進行設計，先給定學生一個較為容易的裂項求和題目，然后再逐步加大難度，層層遞進，不斷引導學生進行更加深入地學習和探討，使學生所接觸的問題都能夠符合學生的“最近發展區”原則，這種有效的復習活動和例題設計能夠使所有學生都能夠有所收獲，極大地提升了學生在復習過程中的自信心和學習興趣，這對即將參加高考的學生來說無疑是十分重要的。因此，高中數學教師在例題的設計方面必須要回歸基礎，使所有學生在課堂學習中都有事可做，積極參與課堂復習活動，從而提升能力和學習成績。

二、連題成組增強復習效果

在高三數學的復習過程中，設計題組，將各個有關聯的題目連成一個題組，以題組的方式進行復習和訓練，在這個過程中學生可以將已經學習過的不完整的知識點進行自我整理，知識點層層遞進的安排方式也符合學生的接受能力，使學生能夠在頭腦中形成一個更加清晰的知識網絡，這樣才能提升復習效果。比如，依然是在復習裂項的數列通項中可以設計一個與數列問題有關的題組，在設計題組的過程中要堅持循序漸進的原則，學生在復習完這樣一組題后就會對數列有一個更深刻的了解，從而也為以后的復習打下一個堅實的基礎。

三、選取有代表性的學生錯題以錯糾錯

高中數學與初中數學相比，學習難度極大提升，學生在數學學習過程中出現種種問題和誤區也都是在所難免的，而教師在教學工作中應該仔細分析學生的錯誤，并根據具體規律將其進行分類，選擇有代表性的錯題作為課堂復習案例，從而達到“以毒攻毒”的效果。學生在學習中出現的這些錯誤都是學生學習情況的真實反映。因此，學生必須正視并且試著解決這些問題，使之在已有的知識結構上進行修正，并且構建正確的知識結構。從心理學的角度來說，學生在領會新知識的過程中，學生頭腦中已經有了一定的知識儲備。教師在針對學生的錯題進行設計例題時，忽視了學生頭腦中已經存在的知識構架，過分糾正學生在學習過程中的錯誤，這就給學生的學習帶來了極大的約束，嚴重阻礙了學生的創新思維和邏輯思維能力。一些有經驗的高中數學教師就會適當地利用學生的錯誤設計出合理的教學內容，并且還要對學生進行鼓勵，這樣就能夠有效增強學生的學習自信，在錯誤中學習和創新。

四、例題學習之后注重反思教學

在高三數學的復習過程中，教師在例題講解完成后，并不意味著真正地結束，教師還要采取各種教學措施或者恰當的教學語言來引導學生進行反思，借助反思教學環節能夠使學生將一些數學知識點內化成個人的一種學習能力，使學生能夠將知識與實際生活結合起來，提升學習的有效性。比如，在復次函數這部分知識點時，教師首先就給出了一個例題：“如果函數f（x）=x2-2x+3（a-1≤x≤a+1）的最小值為18，求實數a的值。”有經驗的教師在講解完這個題目之后，就會給學生留下充足的反思和思考時間，或者是給學生拋出一個舉一反三的問題，比如，若函數為f（x）=x2-2x+3，求該函數的最小值。學生們在得出答案之后，教師就再給出反饋和正確的答案。教師在復習過程中實施的反思教學和舉一反三教學，不僅將數學基礎知識進行了充分的復習和鞏固，而且還將問題逐步深化，借助學生已經掌握的知識結構，一步步推進，實現突破和創新，從而也在很大程度上提升了高中數學的教學質量和教學效果。

五、展示案例并引導學生進行自主評價

從我國現階段教學的現狀來看，普遍要求在課堂中要充分體現學生的主體地位。因此，教師在安排復習計劃過程中也應該遵循以學生為主的原則，先展示例句，讓學生進行思考和分析，之后教師再針對學生的理解進行評價和反饋，當然中間學生之間進行合作交流的環節也是必不可少的，教師可以根據實際的課堂操作情況將其安排在評價之前或者評價之后，學生也可以充分參與課堂生活。教師也要積極融入學生中，對學生進行引導和鼓勵。

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APOS：一種基于建構主義學習理論的教學模式 

何為APOS？APOS教學理論起源于對皮亞杰的數學學習的“自反抽象”理論進行拓展的一種嘗試. APOS教學模式分為四個階段：（1）A—action（操作或活動）；（2）P—process（過程）；（3）O—object（對象）；（4）S—scheme（圖式）. 

筆者對該教學理論的解讀為，前三個階段是學生學習的過程，最后圖式是學生構架的學習結果. 只要我們教師能夠科學地設置數學問題情境和直觀地呈現數學概念所在的知識背景，學生經過思維的操作、合作探究過程后，必然會對“對象”有較為深刻的認識，這三個階段都應該是學生在教師的引導下主動建構和反思的過程，由此為基礎，繼而完成圖式，理順所學概念在學科知識體系中的位置，同時應用知識順利地解決問題. 

APOS理論指導下的“函數”概念教學 

結合APOS理論，下面以函數概念教學為例，就如何有效實施操作、過程、對象和圖式4個階段進行分析. 

第一階段：action階段 

action階段即操作（或活動）階段，即將數學教學看成是“數學活動”的教學，在教學過程中，學生的操作運算行為是其數學認知發展進程中的 基礎性行為.課堂上，學生用數學家的思維投入數學問題探究中來，通過活動得到的實際經驗來建構知識，當然，數學的實踐性與理化學科的觀察性實驗有所區別，數學活動和操作更多的是學生的實際操作演算，或是思維性實驗，即動腦思考提取原有認知，通過操作、活動學生形成反省、被反省的基礎，對新的問題進行反省抽象推動概念學習本質化、直觀化. 從心理學角度看操作，學生對于感知到的對象，通過外部刺激對對象再進行轉換的過程. 如果缺失了學生的推演和思維性活動，數學學習是缺失思想方法的，那么，學生習得的“概念”也必然是無本之木. 

我們在函數概念教學過程中，需要進行一系列的活動（或操作）. 

活動1：給學生提供有現實背景的問題，引導學生從中建立一種函數關系y=2x； 

活動2：要求學生計算出在一個給定點的函數值，如：1→2，2→4，3→6等等. 

上述2個過程即action，通過上述活動，有助于學生真正地理解函數的意義. 

第二階段：procoss階段 

procoss階段是在學生不斷重復“活動或操作”的基礎上不斷反思，活動過程和成果不斷地刺激學生的大腦，繼而完成自身數學知識系統內部的心理建構，即完成“過程”體驗. 過程階段使得第一階段的操作有了自動呈現的機會和形式，與第一階段相比，該階段不再需要外因的不斷刺激. 

在“函數”這個概念的學習過程中，一旦學生認識到“所謂函數只不過是給定一個不同的數就會得出相應的不同值，而不必再進行具體的運算”，其實此時他就已經完成從action階段向procoss階段的跨越，即完成過程模式的建構. 

例如，學生把上文提到的2個活動可以綜合成函數過程，得到一般地有x→2x，由此不需要外部刺激，學生可以完成其他各種函數一般對應過程的概括，即x→f（x）. 

這個階段，“概念”學習變得有操作性、相對直觀，而且思維過程容易遷移到數學學習的其他章節，仿效學習，提高自身的提取信息、分析信息和歸納總結的能力. 

第三階段：object階段 

該階段是與前面兩個階段構成一個整體的，通過前面兩個階段的探索，學生已經對“對象”有了一定的認識，并能夠將其作為一個具體的“實體”參與到其他數學問題的研究、轉化或其他概念操作過程之中. 經過該階段的學習，學生對“概念”有了深刻的認識，不僅能夠具體而明確地指出“概念”所具有的各種性質，同時將概念用于實施特定的數學演算之中. 

例如“函數”的概念，一旦學生經過了object階段形成一個“實體”，那么，學生的認識會自然有所提升，看到函數“可復合”、“可微分、積分”，而且可以進一步通過這些數學演算、操作和過程，逐步地形成更高一級概念. 

筆者認為作為“object階段”是學生學習過程中的轉折點，作為“對象”的概念，學生的既定性知識目標基本上達成，同時這個概念又作為與更高一級層次之間相聯系的樞紐，構建新概念的最近發展區，推動學生的認知有序向前推進. 

第四階段：scheme階段 

scheme階段：圖式階段，也常被稱為“概型階段”，是學生經歷了前面3個學習階段，將“對象”與自己頭腦中原有的與此相關聯的圖式（概念、知識）進行整合形成新的圖式的過程. 很顯然，在該階段，學生的思維和對概念的認識狀況超出了對“概念”本身的認識，上升到對學科更大的知識框架和更高的思維層次的認識. 該階段學生對“概念”進行更高層次的加工和表征. 

例如，學生通過上述3個階段，對“函數概念”有了較為全面的理解，此時會將其與頭腦中原有的知識相綜合，形成一種綜合的心理圖式寄存在腦海之中，這種心理圖式是什么呢？筆者認為不僅僅是函數的概念，還應該包含完整的定義、具體的函數實例、函數抽象和定義的過程、函數概念與其他概念（如方程、曲線、圖象等）之間的聯系與區別等等，如此一來，“函數”這個概念才能在數學知識體系中有血、有肉、有骨頭，占有其特定的位置. 

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關鍵詞：逆向思維；數學教學；邏輯關系；應用

Discussion on Training of Reverse Thinking of Mathematics Teaching

Abstract： Reverse Thinking has very important applications in mathematics teaching， which provides a great help for training students’ thinking ability， and improving the innovation and development capacity. From the logic of reverse thinking， this article discuss the concrete manifestation of reverse thinking ability in mathematics Textbooks and mathematics teaching.

Keywords：reverse thinking；mathematics teaching；logic relationship；application

逆向思維是一種重要的數學思維，是孕育創造性思維的萌芽，逆向思維能力的掌握對解決生活和學習中面臨的問題提供了一種主動、積極的思維方法[1]。在數學教學中，逆向思維對學生提高數學學習興趣、培養學生創新意識有很大幫助，是學生學習和生活必備的一種思維品質[2-3]。然而，在數學教學實踐中更注重正向思維的培養，而淡化逆向思維的重要性，久而久之造成學生學習數學循規蹈矩、順向定性的去認識和感知數學，缺乏創造能力和分析能力，這種思維方式也隨之應用于生活和其它學習中，極大阻礙了學生思維能力的拓展和對新生事物的認知力和適應力[2]。因此，在數學教學中要充分認識逆向思維的重要性，強化學生數學方面逆向思維的培訓，完善學生的數學知識構架，激發學生的求知欲和創新精神。本文從逆向思維的重要性和數學教學中逆向思維的意義出發，探討了數學教學中如何培養學生逆向思維的方法。

1 逆向思維的邏輯關系

“反其道而思之”是逆向思維的精髓，即從事物發生的對立面或者結果對事物進行分析，從問題結論出發對問題進行探索的思維方式。逆向思維是與正向思維相對立的，其將正向思維認知的事物在思維上向對立面方向發展，打破習慣性的沿著事物發展的方向去思考和分析事物，而是從事物產生的結果或者效應反向思考和推斷事物和結果之間的辯證效應，尤其面對一些特殊問題，從結論反向推斷，逆向思考，反而會使問題簡單化[1-3]。逆向思維的優點在于行業需求的普遍性、對正向思維的批判性和思維方式的新穎性，逆向思維的培養往往會增強你對事物認知的興趣，提高自身開拓能力和創新能力，試想一下，當大多數人以習慣性的正向思維方式去看待事物或思考問題，而你運用逆向思維方式思考和解決問題，以“出奇”達到“制勝”，這種效果就會使你在行業競爭、就業選擇中脫穎而出。

數學中逆向思維的應用可以分為宏觀逆向思維方法和微觀逆向思維方法。從辯證唯物主義來講，事物都是對立存在的，往往互為因果，這就為分析和思考事物提供了兩種思維方法――正向思維方法和逆向思維方法，宏觀逆向思維方法就是從事物的辯證特性出發，突破思考框架、擺脫思維定律，形成用逆向思維去解決數學問題的思維認知，歐幾里得的《幾何原本》就是宏觀逆向思維的產物。微觀逆向思維方法是針對性解決一個數學問題，數學證明中的反證法、舉反例法都是逆向思維的體現。

2 數學教學中的逆向思維培養

學生逆向思維的培養對于提高學生創新能力、培養學生興趣愛好、加強對事物的認知能力至關重要。在數學教學中，除了學生正向思維的培養外，要消除思想束縛，大膽嘗試和訓練學生的逆向思維能力，在數學教學中加強對學生逆向思維的培訓，養成逆向思維思考問題的習慣，并且與正向思維相結合，雙向思維進行數學問題的理解和思考，是培養學生數學能力的一種體現，更是培養學生創造性思維的一種重要途徑。

2.1 數學定義的正、逆思維理解

學生對數學定義的理解即是一個對新事物認知的過程，在數學教學過程中，由于老師往往以正向思維方法對數學定義進行闡述，學生對數學定義的理解僅停留在數學定義的字面意思，而缺少對定義深部的挖掘和理解。在教學過程中利用正、逆思維對學生進行數學定義的分析和講解，列舉反例，引導學生利用定義進行反向思考，判別異同和是非，培養學生的逆向思維能力。

例1：已知函數是R上的單調遞減的奇函數，若，求a的取值區間？

解答：

變形為

是奇函數

，根據奇函數定義

又函數遞減，

解得

2.2 數學公式、法則的逆向推斷

數學公式和法則是揭示相關數量間數學關系的銜接橋梁，數學公式和法則本身上是具有正、逆兩向的，正向公式和法則的運用必然會產生等量關系的建立，而數量間已經產生的定量關系也是公式和法則的逆向體現。學生對公式和法則的理解，受到固定正向思維的影響，僅僅停留在相關數量間等量關系的建立，而缺乏對公式和法則的推斷、變形，更不會去利用逆向思維對公式、法則進行思考和分析。在解題過程中，除了公式、法則的正向運用外，常常面臨公式、法則的逆向運用，而學生逆向思維的缺乏，增加了解題難度。

例2：已知，，求的值？

解答：=27/16

該題運用的主要為同底數冪除法性質和冪的乘方性質，逆向思維進行計算，不僅提高了運算速度，而且對結果的正確性更有把握，如果利用正向思維進行解答，這道題無從下手。類似題目的練習不僅提高了對公式、法則的認識和熟練程度，還在很大程度上培養了學生逆向思維的能力。

2.3 數學解題方法中正、逆思維的運用

數學是一門靈活學科，對于數學問題的解答存在多種方式，但歸結起來就是正向解題和逆向解題方法，其中逆向解題法主要有逆推分析法，間接法，（排除法），等，逆推法主要運用與條件證明結論的數學問題中，反證法是經典的逆向解題方法，而間接法主要運用在選擇題中。

1.逆推法的運用，對于條件推斷結論的數學問題來說，從僅有的條件出發，數學問題往往不知從哪下手，很容易出現思維瓶頸，造成結論解答的困難。而逆推法是從結論出發，逆向推斷結論產生所需的條件，這樣往往可以簡化問題，明確解題思路，并且能培養學生的逆向思維能力和解答類似數學問題的興趣。

2.反證法的運用，首先假設結論不成立，然后利用已有的定義、公式或者法則證明結論的不成立與題目條件相矛盾，從而證明命題成立。該方法是一種很實用的證明數學命題方法，并且對培養學生逆向思維能力有很大幫助。

例3：證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度。

反證法解答：假設命題不成立，即三角形三個內角都大于60度；

則三個內角和必然大于180度；

這與定理“三角形內角和等于180度”相矛盾；

所以假設不成立，故原命題得證。

3.間接法（排除法），這種方法主要應用于數學競技考試中，對于一個選擇性的數學問題，正向思維解題尋找答案耗費時間較長，并且容易出錯，而在競技考試中時間是最重要的，所以可以選用將答案選項帶入題目中，進行錯誤答案排除法。

例4：當b=1時，關于x的方程有無數多個解，則a等于（ ）

A：2；B：-2；C：-2/3；D不存在

該題目是典型的競技考試選擇題類型，如果正向思維解題，將b值帶入方程，并進行化簡和求解，耗費大量時間。而運用逆向思維方法，將答案帶入到題目中，很快就會發現答案應選A。

3 逆向思維培養的保障

學生逆向思維的培養關鍵在于數學教學中逆向思維的日常培訓，如何保障學生逆向思維的培養是數學教學需要探討的重要問題。學生逆向思維的形成與提升主要受到周邊環境的影響，這些環境包括教師教育理念、學校學習氛圍、學生興趣培養等等，不同環境影響下的學生對數學理念的認識、問題的處理和興趣的培養有著不同的見解程度，這對學生隨后的學習和生活起到很大程度的影響。數學逆向思維的培養，教師的教育理念至關重要，因為學生的思維方法受到老師的影響程度深，先進的教育理念重視運用正、逆思維思考和解決數學問題，尤其在數學定義、公式和法則的認識和講解中，重視逆向思維的運用，并且在日常訓練中，有意加深對逆向思維的練習。學校學習氛圍是培養學生運用逆向思維思考興趣的平臺，學校注重學生的逆向思維培養，構建逆向思維訓練對象和競賽，培養學生的逆向思維興趣。

4 結 論

數學教學中逆向思維的培養，對提升學生學習興趣，激發學生創新能力和思維能力，對學生的學習和生活具有重要意義。培養學生的正、逆思維能力，可以在解答數學問題的時候，尋求更便捷的解題思路，克服了學生正向思維的固定思考模式。學生逆向思維的培養是個復雜過程，注重數學教學中逆向思維的培養，充分認識到逆向思維的學生思想、創新能力的重要性，從數學學習的興趣培養中構建學生的逆向思維體系。

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