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當(dāng)前全國高考命題涉及教育，經(jīng)驗構(gòu)思巧妙，可體現(xiàn)命題的理念以及原則，在本研究中深入分析高考數(shù)學(xué)試題，能基于2015年至2020年高考數(shù)學(xué)卷概率統(tǒng)計試題深入闡述命題特點，考查要點提出幾點數(shù)學(xué)教學(xué)建議，把握高考的命題，深入領(lǐng)會高考命題精神，進(jìn)而能為高三學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提高針對性，減少復(fù)習(xí)的盲目性。

一、高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計試題

（一）命題背景

對高考數(shù)學(xué)卷中概率與統(tǒng)計的內(nèi)容，考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及建模能力，同時這也是數(shù)學(xué)思想考查的主要載體，當(dāng)前在高考全國卷中“概率與統(tǒng)計”這一試題涉及學(xué)生的日常生活、學(xué)習(xí)。比如，在概率內(nèi)容考查上，一般是以比賽得分、質(zhì)量抽檢、抽簽選號的方式命題，進(jìn)而分析不同隨機事件發(fā)生概率。統(tǒng)計內(nèi)容是基于方案決策、數(shù)據(jù)預(yù)測、利潤獲取以及成本控制等多個方面進(jìn)行命題考查，包括利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行總體特征分析，通過數(shù)據(jù)均值方差判斷問題。在2018年高考數(shù)學(xué)卷中著重對學(xué)生文化知識進(jìn)行考查，以古希臘波拉克底直角三角形外接半圓形為例進(jìn)行命題，考查學(xué)生對幾何概念的理解；在2018年全國二卷高考數(shù)學(xué)理科卷中利用哥德巴赫猜想考查學(xué)生對古典概型這一知識的認(rèn)識。

（二）知識點羅列

近幾年在數(shù)學(xué)高考卷中對統(tǒng)計與概率采用抽象法考查知識點，一般為分層抽樣應(yīng)用統(tǒng)計圖表進(jìn)行相關(guān)性分析，其涉及回歸思想、隨機事件、包括獨立事件、互斥事件以及概率離散變量、獨立重復(fù)檢驗、正態(tài)分布、方差等。首先，在高考試卷中“統(tǒng)計與概率”這一內(nèi)容呈現(xiàn)交互性命題，概率統(tǒng)計知識點相對緊密，采取統(tǒng)計圖表作為主要考查方式，要求學(xué)生根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)運用頻率估計思想，以考查對對立事件概率、古典概型以及互斥事件概率公式應(yīng)用。其次，對生產(chǎn)銷售中的利潤問題分析，一般“概率與統(tǒng)計”是與分段函數(shù)或函數(shù)最低值問題結(jié)合，這也是近年來高考數(shù)學(xué)考查的熱點。

（三）對學(xué)生能力的考查

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，提出在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中涉及抽象運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯思維直觀分析等，其中數(shù)學(xué)分析獲取研究對象數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)方法收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)推斷，逐漸使學(xué)生形成良好的學(xué)科核心素養(yǎng)。在開展概率統(tǒng)計這一內(nèi)容教學(xué)時，要求學(xué)生能利用統(tǒng)計與概率思想實現(xiàn)據(jù)處理分析，為企業(yè)制定決策依據(jù)，充分培養(yǎng)學(xué)生理性思維。當(dāng)前在數(shù)學(xué)高考卷中，對概率統(tǒng)計這一內(nèi)容考查學(xué)生六大能力：第一淡化解題技巧幫助學(xué)生實現(xiàn)通法解題；第二，減少無限深度這一要求，提高運算思路的分析能力；第三，逐漸形成科學(xué)合理的隨機觀念，能認(rèn)識一些隨機現(xiàn)象；第四，培養(yǎng)閱讀、篩選信息能力；第五，培養(yǎng)學(xué)生通過實際問題，解決估算判斷；第六，重視整合分類，劃歸轉(zhuǎn)化等思想在具體解題中的應(yīng)用。

（四）命題的規(guī)律分析

第一，在高考數(shù)學(xué)客觀題命題上。歸納2014年至2015年期間的高考題，在概率知識考查上主要體現(xiàn)于判斷題中，歷年高考題就會涉及古典概型這一命題。2015年對統(tǒng)計知識的考查主要體現(xiàn)于客觀題中，且要求學(xué)生能認(rèn)識統(tǒng)計圖表，采取該方法進(jìn)行考查。在近年來，在概率內(nèi)容方面幾何概型也成了考查熱點，尤其在2017年2018年中，對這一類題考查題數(shù)較多，具體涉及線段和面積模型等。此外，正態(tài)分布、特征抽樣、樣本數(shù)據(jù)分析等題型隔年交替考查，要求學(xué)生了解統(tǒng)計與概率的公式、概念運用。第二，從解答題的命題規(guī)律來看，在2013年之前高考數(shù)學(xué)卷考查核心事件的概率，注重邏輯推理能力的考查，強調(diào)解答排列組合問題技巧，對合情推理和應(yīng)用意識的考查內(nèi)容較少。自2014年后在高考數(shù)學(xué)卷中增加了頻率分布以及直方圖內(nèi)容考查，要求學(xué)生利用圖表數(shù)據(jù)，通過頻率估計概率的方法解決實際問題，在2015年之后增加散點圖、折線圖等內(nèi)容考查，重點要求學(xué)生能熟練繪制頻率分布直方圖、莖葉圖，能聯(lián)系實際解決數(shù)學(xué)問題，針對一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行決策判斷；2017年高考數(shù)學(xué)卷學(xué)生獨立性檢驗問題，2018年開始考查正態(tài)分布，在高考數(shù)學(xué)命題中對正態(tài)分布例題特點鮮明，近幾年對這一例題的考查逐漸由簡單規(guī)則應(yīng)用向理解原理、回歸運算滲透，整體內(nèi)容在高考數(shù)學(xué)卷近年解答題的命題中煥然一新，但近年來高考數(shù)學(xué)中的中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及均值等概念仍是考查的熱點。利用頻率估計概率和利用樣本估計總體特征是數(shù)學(xué)問題解決的核心思想。

二、概率與統(tǒng)計的試題分類分析

為能把握近年來高考數(shù)學(xué)卷的命題方向，本研究針對近幾年高考試卷關(guān)于概率統(tǒng)計的內(nèi)容進(jìn)行分類。

（一）統(tǒng)計

第一，抽樣。為能使學(xué)生結(jié)合實際問題，在統(tǒng)計內(nèi)容教學(xué)中要求學(xué)生利用多種方法獲取數(shù)據(jù)，能把握數(shù)據(jù)所隱藏的信息，常使用的方法包括分層抽樣法、隨機抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。近年來，在高考數(shù)學(xué)卷中分層抽樣法是主要的抽樣方法考查對象。2018年高考數(shù)學(xué)全國卷中，一卷與三卷均設(shè)計這一題型。第二，統(tǒng)計圖表。統(tǒng)計圖表相對具有一定的實用性以及直觀性，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要求學(xué)生能對所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選擇合適圖表表達(dá)數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)描述相應(yīng)的數(shù)字特征，利用樣本數(shù)據(jù)來估計總體發(fā)展規(guī)律，進(jìn)而解決實際問題。在高考數(shù)學(xué)中針對統(tǒng)計內(nèi)容的考查一般采取的是統(tǒng)計圖表的方式，它能從多層次，多角度命題考查學(xué)生用途識圖和作圖能力。比如簡單視圖應(yīng)用是近年來高考全國卷主要涉及日常生活生產(chǎn)的熱點和涉及貼近生活且具有較強可讀性的統(tǒng)計圖表。2018年在全國高考數(shù)學(xué)卷中提出“關(guān)于新農(nóng)村建設(shè)農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入變化統(tǒng)計圖表-餅狀圖”，2017年全國三卷中利用旅游作為命題背景繪制折線統(tǒng)計圖，這些題型均是要求學(xué)生能通過樣本數(shù)據(jù)特征估計總體。當(dāng)前利用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷是社會普遍采取的思維模式，利用統(tǒng)計學(xué)原理實現(xiàn)樣本總體特征估計是數(shù)學(xué)問題解決的核心思想，當(dāng)前高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常會涉及這一類題型，重點考查學(xué)生熟練繪制頻率分布直方圖以及莖葉圖，能結(jié)合已知的樣本數(shù)據(jù)提取重要信息，具體包括標(biāo)準(zhǔn)差、方差、均數(shù)等，考查學(xué)生對總體評價解釋的應(yīng)用能力。比如在2018年高考文科全國一卷中堅持以德樹人作為教學(xué)導(dǎo)向，通過對比采用節(jié)水龍頭之后用水量變化，能逐漸培養(yǎng)學(xué)生保護(hù)水資源的意識。在這一例題中共涉及三個問題，第1題考查學(xué)生熟練繪制頻率分布直方圖和分布表的能力。在第2題中要求學(xué)生利用樣本數(shù)據(jù)來估計總體，進(jìn)而熟練掌握古典概型的實際應(yīng)用，能培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、估算能力。第3題通過使用節(jié)水器前后用水量變化分析，考查學(xué)生熟練掌握頻數(shù)分布表。當(dāng)前在工農(nóng)業(yè)和經(jīng)濟(jì)生活中，綜合應(yīng)用統(tǒng)計圖表具有廣泛應(yīng)用，成本控制質(zhì)量控制、風(fēng)險控制是其經(jīng)常需要解決的問題，而這些問題受隨機因素以及不確定變量因素影響，因此需構(gòu)建隨機模型進(jìn)行數(shù)據(jù)設(shè)計整理，能利用統(tǒng)計與概率這一內(nèi)容做出正確決策，高考命題一般是以問題作為背景，通過統(tǒng)計圖表、作文命題載體，考查學(xué)生對隨機變量分布列，期望值，計算頻率概率等內(nèi)容的考查，進(jìn)而提升數(shù)據(jù)分析處理能力和建模能力，在2016年全國一卷中，問題背景為實際生產(chǎn)成本控制問題，重點考查柱狀圖的認(rèn)識，在第1問中考查學(xué)生利用柱狀圖以及頻率估計概率思想求解分布列，在計算概率時需要運用分類討論這一思想，將實際問題轉(zhuǎn)為獨立事件或互斥事件進(jìn)行解決。第2問題是基于第1問前提下，考查學(xué)生如何進(jìn)行互斥事件、概率求解。第3問以期望值作為決策依據(jù)，確定企業(yè)購買量。在上述例題中充分體現(xiàn)了近年來對學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力考查的變化。第三，變量相關(guān)性，2017年高考數(shù)學(xué)全國卷的考試大綱要求掌握統(tǒng)計案例以及變量相關(guān)性問題，能繪制散點圖，利用已知數(shù)據(jù)通過散點圖了解變量之間的相關(guān)性，進(jìn)而深刻體會獨立性檢驗、最小二乘法以及回歸分析等重要思想的應(yīng)用。結(jié)合回歸方程系數(shù)求解問題，利用統(tǒng)計法解決實際生活中面臨的問題，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能對回歸方程公式或獨立性檢驗公式死記硬背，要求利用已知的公式來推斷，判斷預(yù)測結(jié)果，進(jìn)一步考查統(tǒng)計思想在具體問題中的應(yīng)用。

（二）概率部分

第一，隨機事件，2015年高考文科卷中有這樣一道例題，甲乙丙三人比賽，其中每局比賽是由兩人完成的，另外一人為裁判，在每局比賽結(jié)束之后負(fù)的一方為下一局裁判，假設(shè)雙方比賽的概率為1:2，并且最終比賽結(jié)果屬于相互獨立事件，已知在第1局比賽中甲為裁判。第1問求解在第4局甲作為裁判的概率。第2問前4局比賽中乙為裁判的概率。首先這一例題主要考查學(xué)生對于互斥事件、相互獨立事件、對立事件等概念的認(rèn)識，重點培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。已知第1局甲為裁判，進(jìn)而可推斷在第4局中甲仍然為裁判，甲在第2局勝出，在第3局失敗，可推斷兩者為相互獨立事件，通過概率乘法公式進(jìn)行問題求解。在第2問中重點考查學(xué)生對包括劃歸思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想等數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用，在前4局比賽中求解乙為一次裁判，可分三種情況進(jìn)行討論，需要注意除事件關(guān)系運算外，近年來在高考數(shù)學(xué)卷中對隨機事件和概率部分、幾何概型、古典概型和條件概率等內(nèi)容的考查增多。第二，離散型隨機變量。在概率統(tǒng)計這一內(nèi)容中，近年高考數(shù)學(xué)重點考查學(xué)生對方差、均值的知識，能利用均值反應(yīng)變量隨機水平，利用方差表示多個變量的隨機分散程度，掌握這些概念也是在實際問題中求解的關(guān)鍵。在高考數(shù)學(xué)卷中，對分布列均值方差采取兩種考查方式。1.通過隨機事件概率或公式進(jìn)行分布列求，解之后求解期望值和方差；2.利用統(tǒng)計圖表考查學(xué)生對圖表的認(rèn)識，通過均值、方差、分布列判斷實際問題，這也是近年來新課標(biāo)解答題考查熱點。第三，正態(tài)分布。結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生利用誤差模型能了解正態(tài)分布隨機變量的具體應(yīng)用，通過實例繪制頻率分布直方圖，能了解均值、正態(tài)分布的相關(guān)概念，通過實際案例，借助頻率分布直方圖了解重要的符號和圖像的意義。2017年全國高考卷中首次考查學(xué)生對正態(tài)分布的認(rèn)知，且由規(guī)則運用向原理理解進(jìn)行滲透，2017年高考數(shù)學(xué)卷考查學(xué)生正態(tài)分布內(nèi)容，要求學(xué)生能了解一些數(shù)學(xué)符號和圖像。

三、高考數(shù)學(xué)教學(xué)建議

第一，做好學(xué)生的心理疏導(dǎo)。在不同生活和學(xué)習(xí)環(huán)境下，數(shù)學(xué)焦慮是指阻礙學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題和操作的緊張不良情緒。盡管概率與統(tǒng)計的例題在高考數(shù)學(xué)卷中題型難度不大，但這類型例題含有較多信息，很容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生不良情緒。首先，研究表明學(xué)生不良情緒是與其日常呈現(xiàn)呈負(fù)相關(guān)性，因此在概率與統(tǒng)計這一內(nèi)容教學(xué)時應(yīng)當(dāng)及時梳理學(xué)生不良情緒，培養(yǎng)學(xué)生健康和積極的心態(tài)。其次，要重視數(shù)學(xué)思想以及相關(guān)概念的教學(xué)。綜合近年來高考數(shù)學(xué)概率試題集，其內(nèi)容較為豐富，命題靈活，即便難度較低的試題，如果沒有掌握題意認(rèn)識的概念，在解題時也會產(chǎn)生很多錯誤。數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中是十分重要的，教師在開展數(shù)學(xué)教學(xué)時，要求學(xué)生逐漸形成學(xué)習(xí)觀念，利用隨機變量進(jìn)行問題解決，能掌握樣本估計總體、頻率估計概率等多種方法，通過學(xué)習(xí)一些經(jīng)典例題了解回歸思想、獨立性檢驗等思想的具體運用，能準(zhǔn)確區(qū)別思維差異、思維理性，掌握分類討論思想、劃歸思想、轉(zhuǎn)化思想等在解決實際問題中的應(yīng)用。第二，重視高考例題的研究。歷年的高考數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要素材，應(yīng)當(dāng)以一些經(jīng)典例題為素材深入領(lǐng)會命題意圖，規(guī)律命題，背景，能提升高三學(xué)生復(fù)習(xí)有效性，建議教師在開展高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時，應(yīng)當(dāng)以歷年經(jīng)典高考試題為例實現(xiàn)針對性復(fù)習(xí)。近年來，根據(jù)高考數(shù)學(xué)試題知識能力考查，重點考查學(xué)生對分布列、離散型隨機變量、概率組合、方差、均值等理論知識進(jìn)行考查，考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用技能以及基礎(chǔ)知識的掌握度，培養(yǎng)學(xué)生理解能力、運算能力。針對概率統(tǒng)計在高考試題中設(shè)計難度不高，因此在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注重答題規(guī)范以及思維完整性。同時從試題形式上來看，以實際問題為命題背景，利用統(tǒng)計與概率這一內(nèi)容作為命題載體，或?qū)⒘鞒虉D進(jìn)行整合，主要考查學(xué)生分析解決問題的能力。在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，要求學(xué)生能正確認(rèn)識不同的數(shù)學(xué)模型特點，包括互斥事件、獨立事件、對立事件，模擬一些類似題型進(jìn)行練習(xí)，在解題時及時糾正錯誤，可通過反思數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)掌握一些學(xué)習(xí)要點。除此之外，在教學(xué)時注重培養(yǎng)學(xué)生通過文字捕捉信息，能將漢字轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)語言，當(dāng)遇到問題情景復(fù)雜的試題時要求讀懂題意，只有正確理解題意才能抽象概括概率統(tǒng)計模型。

四、結(jié)語

總之，本研究深入分析高考數(shù)學(xué)試題，以2015年至2020年高考數(shù)學(xué)全國卷中概率和統(tǒng)計試題作為研究對象，分析命題特點、考查要點，提出幾點數(shù)學(xué)教學(xué)建議。同時以高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計內(nèi)容為例，分析了高考數(shù)據(jù)分析、采集及管理的問題。

作者:邢迪 單位:山東省淄博市實驗中學(xué)